Matematika/Neigiami skaičiai

Didesnio skaičiaus atimtis iš mažesnio

Kaip buvo minėta, natūrinių skaičių atimtis yra negalima, kai atėminys yra didesnis už turinį. Taip ir turėtų būti: sudėję du natūrinius skaičius negalime gauti sumos, mažesnės už dėmenis, tad ir atėmę didesnį skaičių iš mažesnio negausime jokio natūrinio skaičiaus. Bet ar gali būti taip, kad norėtume atimti didesnį skaičių iš mažesnio ir gauti kažkokį rezultatą - net jei jis nebūtų natūrinis skaičius?

Iš pradžių apskaičiuokime 6 - 4 + 5:

$6-4+5=2+5=7.\$

Ar rezultatas pasikeis, jei sukeisime vietomis 6 ir 5?

$5-4+6=1+6=7.\$

Kaip matome, rezultatas nepasikeitė. Bet ar tai ne atsitiktinumas? Ar taip turėtų būti su bet kokiais skaičiais? Ar visada iš vieno skaičiaus atėmę antrą ir pridėję trečią turėtume gauti tą patį, ką ir atėmę antrąjį iš trečiojo bei pridėję pirmąjį?

Iš pradžių pagalvokime, kas bus, jei visi trys skaičiai bus lygūs (pavyzdžiui, 6 - 6 + 6 ar 10 - 10 + 10). Taip, tokiu atveju pirmąjį ir trečiąjį skaičius bus galima sukeisti vietomis, nes jie bus vienodi. Pabandykime vieną iš šių skaičių padidinti. Jei padidinsime pirmąjį skaičių (pavyzdžiui, (6 + 2) - 6 + 6), atimties rezultatas bus tas pats skaičius, kuriuo jį padidinome. Tada, pridėję jį prie trečiojo skaičiaus, tiek pat padidinsime ir jį. Jei padidinsime trečiąjį skaičių (pavyzdžiui, 6 - 6 + (6 + 2)), atimties rezultatas bus nulis, kurį pridėję vėlgi gausime tiek pat padidintą trečiąjį skaičių.

Kas bus, jei padidinsime ir pirmąjį, ir trečiąjį skaičius? Atimties rezultatas bus lygus skaičiui, kuriuo padidintas pirmasis skaičius, o pridėję šį rezultatą prie trečiojo skaičiaus, gausime pradinio trečiojo skaičiaus, pirmojo skaičiaus padidinimo bei trečiojo skaičiaus padidinimo sumą. Nesunku įsitikinti, kad tą patį gausime ir sukeitę pirmąjį ir trečiąjį skaičius: iš pradžių pirmasis ir trečiasis skaičiai buvo vienodi.

Tad įsitikinome, kad kai tokiame reiškinyje pirmasis ir trečiasis skaičiai yra didesni už antrąjį arba jam lygūs, juos galima sukeisti vietomis. Norėtųsi, kad taip būtų ir kai kuris nors iš šių skaičių mažesnis už antrąjį. Tačiau tokiu atveju turėsime iš mažesnio skaičiaus atimti didesnį...

Kokiomis savybėmis turėtų pasižymėti tokios atimties rezultatas? Paimkime pavyzdį:

$6-3+2=3+2=5.\$

Ką tokiu atveju galėtume pasakyti apie 2 - 3? Kaip išsiaiškinome, mes norėtume, kad būtų teisinga lygybė:

$2-3+6=6-3+2=5.\$

Vadinasi, prie 2 - 3 pridėję šešis, turime gauti penkis. Aišku, tokio natūrinio skaičiaus nerasime, bet gal galima kaip nors kitaip iš šešių gauti penkis? Taip, galime - atėmę vienetą. Pastebėkime, kad tą patį vienetą mes gauname sukeitę nagrinėtuosius turinį ir atėminį (iš trijų atėmę du).

Šis pastebėjimas mums leidžia suprasti, ką galėtų reikšti didesnio skaičiaus atimties iš mažesnio rezultatas: jis nusako, kiek mes turėtume atimti iš kitų dėmenų, šį rezultatą prie jų pridėdami (kad gautume tokį pat rezultatą, kaip ir pridėję tuos dėmenis prie turinio). Kitaip tariant, jei natūriniai skaičiai nusakytų pinigų sumas, tai toks skaičius būtų lyg skola.

Tokie skaičiai vadinami neigiamais skaičiais ir žymimi prieš „skolos“ dydį dedant minusą. Pavyzdžiui,

$2-3=-1.\$

Tai skaitoma: du minus trys lygu minus vienas.

Skaičiaus ženklas ir modulis

Kaip matome, neigiamo skaičiaus užrašas susideda iš dviejų dalių: minuso ir natūrinio skaičiaus užrašo. Panašiai galima užrašyti ir natūrinius skaičius: tokiu atveju vietoje minuso rašytume pliusą (nors paprastai jo nerašome). Pirmąją užrašo dalį (pliusą arba minusą) vadinsime skaičiaus ženklu, o natūrinį skaičių, kuris užrašytas antrojoje dalyje - skaičiaus moduliu.

Pliusas ir minusas bus vadinami priešingais ženklais, o skaičiai, kurių modulis sutampa, o ženklai skiriasi - priešingais skaičiais. Pavyzdžiui, 5 ir -5 yra priešingi skaičiai.

Pastebėtina, kad nulis šiuo atveju yra ypatingas: jam priešingas skaičius yra jis pats. Tai galima pastebėti iš to, kad nulį pridėję prie skaičiaus gausime tiek pat, kiek ir jį iš to skaičiaus atėmę. Kitus natūrinius skaičius vadinsime teigiamais sveikaisiais skaičiais, jiems priešingus skaičius - neigiamais sveikaisiais skaičiais, o visus juos kartu su nuliu (kuris nėra nei teigiamas, nei neigiamas) - tiesiog sveikaisiais skaičiais.

Veiksmai su neigiamais skaičiais: sudėtis ir atimtis

Iš viso to aišku, kad pridėti prie skaičiaus neigiamą skaičių yra tas pats, kaip ir atimti pastarojo modulį. Tai galioja tiek pridedant neigiamą skaičių prie teigiamo, pavyzdžiui,

$5+(-2)=5-2=3,\$

tiek prie neigiamo, pavyzdžiui,

$-5+(-2)=-5-2=-7,\$

tiek prie nulio, pavyzdžiui,

$0+(-2)=0-2=-2.\$

Kitaip tariant, iš skaičiaus atėmę teigiamą skaičių gausime tiek pat, kiek ir pridėję pastarajam priešingą skaičių. Taip pat galime pastebėti, kad tai galioja ir nuliui: iš skaičiaus atėmę nulį gauname tiek pat, kiek ir pridėję nuliui priešingą skaičių (irgi nulį). Gal tas pat galioja ir neigiamiems skaičiams? Išties neigiami skaičiai apibrėžiami taip, kad ši taisyklė galiotų. Tad iš vieno skaičiaus atėmę kitą gausime tiek pat, kiek ir prie turinio pridėję skaičių, priešingą atėminiui. Pavyzdžiui,

$3-(-2)=3+2=5.\$

Iš to matome, kodėl užrašant neigiamus skaičius naudojamas tas pats minusas, kaip ir atimties atveju: kadangi neigiamo skaičiaus pridėjimas atitinka jo modulio,atėmimą, pliusą ir neigiamą skaičių išskiriančius skliaustus galime praleisti.

Veiksmai su neigiamais skaičiais: daugyba ir dalyba

Mokėdami sudėti teigiamus ir neigiamus skaičius galime pereiti prie daugybos. Kaip žinome, natūrinių skaičių daugyba yra kartotinė sudėtis. Norėtųsi, kad tai galiotų ir neigiamų skaičių atveju. Pabandykime taip sudauginti -3 ir 4:

$(-3)\cdot 4=\underbrace {(-3)+(-3)+(-3)+(-3)} _{4\ kartus}=\underbrace {-3-3-3-3} _{4\ kartus}=-12.$

Kaip matome, sudauginę teigiamą ir neigiamą skaičius, gauname neigiamą skaičių, kurio modulis lygus dauginamųjų modulių sandaugai. Kadangi dauginamuosius galime keisti vietomis, tą patį rezultatą gausime tiek padauginę teigiamą skaičių iš neigiamo, tiek neigiamą iš teigiamo:

$(-3)\cdot 4=4\cdot (-3)=-12.$

Ką šiuo atveju reikštų kartotinė sudėtis?

$3\cdot (-4)=\underbrace {(-3)+(-3)+(-3)+(-3)} _{4\ kartus}=\underbrace {-3-3-3-3} _{4\ kartus}=-12.$

Kaip matome, „sudėti tris minus keturis kartus“ reiškia tą patį, ką ir „sudėti minus tris keturis kartus“. Kitaip tariant, daugindami iš neigiamo skaičiaus mes sudedame skaičius, priešingus pirmajam dauginamajam tiek kartų, kiek nurodo antrojo dauginamojo modulis (suprantama, dauginamuosius galime keisti vietomis).

O ką turėtume gauti sudauginę du neigiamus skaičius? Prisiminkime: sudauginę du teigiamus skaičius gauname teigiamą skaičių, kurio modulis lygus dauginamųjų modulių sandaugai, o sudauginę teigiamą ir neigiamą skaičius - neigiamą skaičių, kurio modulis vėlgi lygus dauginamųjų modulių sandaugai. Vadinasi, galima tikėtis, kad dviejų neigiamų skaičių sandaugos modulis taip pat bus lygus dauginamųjų modulių sandaugai. Bet ar sandauga turės būti teigiama, ar neigiama? Iš pirmo žvilgsnio atrodytų, kad neigiama (kaip ir dauginamieji). Bet pabandykime atlikti kartotinę sudėtį:

$(-3)\cdot (-4)=\underbrace {3+3+3+3} _{4\ kartus}=12.$

Kadangi dauginame iš neigiamo skaičiaus, sudėjome skaičius, priešingus pirmajam dauginamajam. Kadangi jis buvo neigiamas, sudėjome teigiamus skaičius ir gavome taip pat teigiamą skaičių. Vadinasi, dviejų neigiamų skaičių sandauga yra teigiamas skaičius. Kaip tai suprasti? Dar kartą peržiūrėkime visus variantus:

$3\cdot 4=12,$

$(-3)\cdot 4=-12,$

$3\cdot (-4)=-12,$

$(-3)\cdot (-4)=12.$

Matome, kad dviem variantais (kai dauginamųjų ženklai vienodi) gauname teigiamą sandaugą, o kitais dviem (kai dauginamųjų ženklai skiriasi) - neigiamą. Tad bendra taisyklė bus tokia: dviejų sveikųjų skaičių sandaugos modulis yra lygus dauginamųjų modulių sandaugai, o ženklas yra teigiamas, kai dauginamųjų ženklai vienodi, ir neigiamas, kai jie skiriasi.

Iš to nesunku pastebėti, kad priešingą skaičių galime gauti, padauginę atitinkamą skaičių iš minus vieneto: tokiu atveju sandaugos modulis sutaps su pradinio skaičiaus moduliu (dauginsime iš vieneto), o ženklas bus teigiamas, jei pradinis skaičius buvo neigiamas, ir neigiamas, jei pradinis skaičius buvo teigiamas:

$(-1)\cdot 5=-5,$

$(-1)\cdot (-5)=5.$

Apibendrindami natūrinių skaičių dalybą pagal išvardintus daugybos pavyzdžius galime sudaryti atitinkamus dalybos pavyzdžius:

$12:4=3,\$

$(-12):4=-3,\$

$12:(-4)=-3,\$

$(-12):(-4)=3.\$

Kaip matome, bendra taisyklė dalybai bus panaši į atitinkamą taisyklę daugybai: dviejų sveikųjų skaičių dalmens modulis yra lygus jų modulių dalmeniui, o ženklas yra teigiamas, kai dalinio bei daliklio ženklai vienodi, ir neigiamas, kai jie skiriasi.

Galiausiai lieka dar vienas klausimas: kokia šiais atvejais turėtų būti liekana? Jei dalinys ir daliklis yra teigiami, renkamės teigiamą liekaną, bet kitais atvejais naudojama tiek teigiama, tiek neigiama liekana.

Pratimai

1. Atimkite didesnį skaičių iš mažesnio: a) 2 - 5, b) 7 - 21, c) 51 - 90, d) 0 - 10.

Ats.: a) -3, b) -14, c) -39, d) -10.

2. Nurodykite skaičius, priešingus duotiesiems: a) 2, b) 7, c) 100, d) -5, e) 45, f) -90, g) -420, h) 0, i) -30.

Ats.: a) -2, b) -7, c) -100, d) 5, e) -45, f) 90, g) 420, h) 0, i) 30.

3. Sudėkite sveikuosius skaičius: a) 5 + 2, b) (-5) + 2, c) 5 + (-2), d) (-5) + (-2).

Ats.: a) 7, b) -3, c) 3, d) -7.

4. Atimkite sveikuosius skaičius: a) 5 - 2, b) (-5) - 2, c) 5 - (-2), d) (-5) - (-2).

Ats.: a) 3, b) -7, c) 7, d) -3.

5. Sudauginkite sveikuosius skaičius: a) 5 · 2, b) (-5) · 2, c) 5 · (-2), d) (-5) · (-2).

Ats.: a) 10, b) -10, c) -10, d) 10.

6. Padalinkite sveikuosius skaičius: a) 10 : 2, b) (-10) : 2, c) 10 : (-2), d) (-10) : (-2).

Ats.: a) 5, b) -5, c) -5, d) 5.